Математика — патология лжи и абсурда

Мы привыкли доверять «жрецам науки». Нам внушают мысль, что математика — образец истинности и строгости. Однако реальное положение дел весьма драматично. Научный мир скрывает правду о том, что современная математика — патологический казус, от которого грядущие поколения придут в ужас. (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Академик РАН Владимир Игоревич Арнольд неоднократно критиковал современную математику, называя представителей школы формализма «левополушарными больными» и «мафией», захватившей в свои руки математическое образование (Арнольд В.И. Антинаучная революция и математика. Вестник РАН, том 69, № 6, с. 553-558, 1999 ). Но еще до него неутешительный диагноз математической науке вынес американский математик Моррис Клайн, сравнивший состояние нынешней математики со старческим маразмом, когда «тело продолжает жить, а разум и дух давно помутились» (Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984).

В той же книге Моррис Клайн разобрал основные вехи в развитии математики и подробно описал кризисное состояние, в котором она пребывает. Тем не менее, над причинами этого глубокого кризиса в научном мире размышляют крайне неохотно. Жрецы науки, получая немыслимые гранты и премии, предпочитают вводить обывателей и правительства стран в заблуждение, будто никаких серьезных проблем в математике не существует. Поэтому на публикацию разгромных критических статей в научных журналах наложено негласное табу, преодолеть которое практически невозможно. Круговая порука — весьма действенный способ отстаивать узко корпоративные интересы. В результате — страдает только сама математика, которую продолжают планомерно «убивать».

Никому и дела нет до тех противоречий, которые терзают основания математики. Большинство ученых просто пользуются математическими определениями, возникшими зачастую еще во времена античности, ничуть не задумываясь об их истинности. Если возникает «нестыковка», ее всегда можно спрятать за ширму новых аксиом, придумать специальные символические обозначения и «подпорки». Именно так возводилась Вавилонская башня математики, пока грандиозное здание из недостижимых «алефов» не дало глубокую трещину в начале XX века.

Голландский математик Лейтзен Брауэр поставил под сомнение справедливость применения Аристотелевского принципа «третьего не дано» для бесконечных множеств, то есть для всех ключевых доказательств теории множеств Георга Кантора, предполагающей существование «трансфинитных чисел, которые стоят или падают вместе с конечными иррациональными числами» (Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985. С.284). Иначе говоря, программа Брауэра затрагивала не только саму теорию множеств, но и классическую теорию иррациональных чисел, которая считалась вполне «безопасной» и давно «проверенной» областью. В действительности Брауэр открыл настоящий Ящик Пандоры — доказательства, которые тысячи лет считались «истинными», вдруг стали вызывать тревогу.

Дэвид Гильберт, ведущий математик XX века, расценил революционные идеи Брауэра как очередную попытку организовать «путч» среди математиков: «Насколько у Кронекера было мало шансов упразднить иррациональные числа… настолько же маловероятен и успех Вейля и Брауэра. Брауэр не представляет собой революцию, как это считает Вейль, — только повторение попытки организовать Putsch» (Рид К. Гильберт. М.,1977. С.204). Чтобы отбить у математиков желание критиковать теорию иррациональных чисел, Гильберт выгнал Брауэра из редакции влиятельного математического журнала «Mathematische Annalen». Затем мировое научное сообщество предприняло все возможные меры, чтобы не дать Брауэру и его последователям развивать интуиционистскую программу в ее изначальном русле.

Надо сказать, усилия по сохранению «общепринятой» математики, возымели действие. Вы не найдете ни одной книги Брауэра, переведенной на русский язык. Более того, значительная часть его математических рукописей таинственным образом «исчезла» или, вероятнее всего, была украдена. Есть книги Вейля и Гейтинга, две статьи Колмогорова, есть конструктивная математика Маркова, цитаты из работ Брауэра, разбросанные по разным монографиям, но самого Брауэра нет. Его нелестные высказывания в адрес нынешней математики были аккуратно «зачищены» в информационном поле.

Постепенно концепция Брауэра была переформатирована так, что от интуиционизма осталась только логика — так называемая «семантика Брауэра-Гейтинга-Колмогорова (БГК)» — хотя сам Брауэр считал логические исследования интуиционизма вторичными по отношению к конкретным математическим объектам. Другими словами, математики не смогли отвергнуть интуиционистские доводы и принцип противоречивости, но категорически запретили искать непосредственное построение, которое к данному противоречию приводит.

Такое же лукавство жрецы науки однажды проявили по отношению к книге Галилео Галилея «Диалог о двух системах мира», допустив в ней публикацию запрещенной тогда теории Николая Коперника с тем условием, что Галилей не станет приводить неопровержимые доказательства в ее пользу. Как в те времена гелиоцентрическая модель Коперника разрушала «научную картину мира», восходящую еще к Аристотелю и Птолемею, согласно которой Земля является центром Вселенной, так же и взгляды Брауэра разрушали представления и понятия, восходящие к эпохе античности. И тогда, и теперь человечество оказалось перед выбором, какой путь избрать — латать дыры в старых понятиях с помощью курьезных исключений из правил либо создать принципиально новую систему. Математики предпочли ничего не делать и не менять, притворившись, что ничего существенного не произошло.

Что же напугало математиков и лично Дэвида Гильберта в концепции Брауэра? Принято считать, что больше всего они испугались опровержения логического тезиса «третьего не дано», позволяющего доказывать теоремы методом «от противного» (ad absurdum). Но это не так, потому что уже сам Аристотель в своей «Аналитике» вводил ограничения для употребления этого тезиса. На самом деле ужас вызывало другое обстоятельство — возможность обнаружения противоречий в аксиомах арифметики. Как известно, в XIX веке математикам уже пришлось смириться с существованием неевклидовых геометрий, но обнаружение противоречий в аксиомах арифметики означало бы, что вообще вся математическая наука, включая современный анализ, не является истинной!

Для ученых высшего ранга такое положение дел неприемлемо. Они ни за что не согласятся с тем, что известная нам математика — такая же псевдонаука как, например, Птолемеева модель мироздания. Они пойдут на любые ухищрения, будут выгонять из институтов и редколлегий научных журналов, но никогда не признают пророческие слова Леопольда Кронекера, который в дискуссии с Вейерштрассом утверждал: «Скоро арифметика покажет настоящие точные пути анализу и убедит в неверности всех тех умозаключений, с которыми работает современный, так называемый, анализ» (Гильберт Д. Основания геометрии. 1923. С. С.XXIV). В этом смысле нынешние математики мало чем отличаются от средневековых схоластов, которые были готовы верить в любой абсурд, лишь бы сохранить за собой привилегию судить — что истинно, а что ложно, что публиковать, а что запрещать.

Как иначе объяснить отказ математического сообщества решать 2-ю проблему Гильберта? Еще в начале ХХ века Дэвид Гильберт поставил перед математиками принципиально важную задачу — доказать, что действующие в арифметике аксиомы не приводят к противоречиям. В противном случае, как писал Гильберт: «Если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие математически не существует» (Проблемы Гильберта. М., 1969. С.26).

В 1931 году Курт Гедель доказал знаменитую теорему о неполноте, из которой следовало, что невозможно доказать непротиворечивость некой системы аксиом средствами самой этой системы. Об этом открытии Геделя написаны тысячи книг и статей! Воспользовавшись результатом Геделя, математики договорились между собой игнорировать в дальнейшем проблему противоречивости: раз доказать непротиворечивость аксиом арифметики невозможно, то и решать 2-ю проблему Гильберта с их точки зрения было «бессмысленно».

Но математики в очередной раз лукавят! Комментируя теорему Геделя, они любят говорить о том, что возможности человеческого разума ограничены, что нельзя создать машину, пригодную для решения задачи любой степени сложности и так далее и тому подобное. Но главный вывод из теоремы Геделя о неполноте как раз в другом — в том, что мы можем доказать только противоречивость системы аксиом средствами другой, более полной системы. А значит, у 2-й проблемы Гильберта может существовать только негативное решение, при котором действующие аксиомы арифметики наделяют тот или иной математический объект противоречивыми признаками.

На этом следствии из теоремы Геделя в среде математиков не принято акцентировать внимание, потому что ни один «профессиональный» ученый не заинтересован в том, чтобы доказывать существование противоречий в аксиомах арифметики. Это как если бы некий подозреваемый, совершивший преступление, вдруг сам принялся доказывать свою вину. В судебной практике для доказательства вины существует следователь, а кто в научном мире выполняет такую роль? Правильно! Те же самые жрецы науки — они же подозреваемые, они же следователи, они же судьи в одном лице. Совершенно понятно, что такая «мафиозная» структура (по точному замечанию В.И. Арнольда) никогда не вынесет сама себе обвинительный приговор.

Чтобы громкие обвинения не показались голословными, рассмотрим интуиционистский принцип противоречивости, введенный Колмогоровым в статье «О принципе tertium non datur» (Колмогоров А.Н. О принципе tertium non datur // Матем. сб., 32:4 (1925), 646–667):

(А → В) → {( А → ~ В) → ~ А}.

Если из А следует В и из А следует не-В, то имеет место не-А. Смысл этой аксиомы таков: если из суждения А следует и истинность, и ложность некоторого суждения В, то само суждение А ложно.

Математику, в которой существует подобное противоречие, Колмогоров назвал «псевдоистинной» математикой. Но Колмогоров ограничился только введением шаблона, не указав ни одного конкретного математического объекта, к которому можно применить эту логическую формулу. Он предложил считать «общепринятую» математику истинной до тех пор, пока в ней не будет найдено указанное выше противоречие. По сути, к такому же выводу пришел Курт Гедель. Однако критиковать основания математики, тем более, теорию иррациональных чисел, как это делал Кронекер, они не решились. А зря — именно теория иррациональных чисел со времен Пифагора вызывала бурные споры, приводя к катастрофическим для научной парадигмы последствиям.

Итак, приглядимся к иррациональным числам повнимательней. Для примера рассмотрим «классическую квадратичную иррациональность» число √2 = 1,414… Любой современный математик, не задумываясь, скажет, что это число иррациональное, то есть представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь. Хорошо! Раз эта дробь не имеет периода, она в любой степени, кроме нулевой, будет давать такую же непериодическую десятичную дробь:

√2 • √2 = 1,414…  1,414… = 1,9999…###…,

где решетками ###… обозначена последовательность, в которой будут стоять не только девятки. В самом деле, ведь никто из математиков не утверждает, будто непериодическая дробь числа π 3,1415… в некоторой степени nn ≠ 0, является «рациональным числом».

В то же время, как известно, в математике выполняется строгое равенство:

√2 • √2 = 2,

где число 2, очевидно, является рациональным числом, которое можно представить периодической десятичной дробью. Например, 2 = 2,(0) или 21,(9). Возникает принципиальный вопрос: так почему в первом случае мы получаем непериодическую десятичную дробь 1,9999…###…, а во втором случае периодическую 1,(9)?

Оказывается, чтобы обойти подобные затруднения, математики придумали весьма изощренное исключение из правил: «любая бесконечная периодическая дробь с периодом, отличным от 9,является рациональным числом» (Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. Ч.I. М., 1966. С.85). Вот копия со страницы, чтобы читатель, впервые об этом узнающий, не подумал, будто это выдумка автора:

Как вам это нравится? Математики не просто исключили числа с периодом (9) из класса других периодических (рациональных) десятичных дробей — они вообще не потрудились отнести числа с периодом (9) к какому бы то ни было классу, чтобы окончательно запутать следы «преступления» и сбить с толку любого, кто захочет разобраться в этой абсурдной ситуации.

А ситуация, действительно, абсурдна! Это и есть тот случай, когда некоторому понятию присвоены противоречащие друг другу признаки. Иначе говоря, мы нашли тот самый объект «общепризнанной» математики, для которого выполняется принцип противоречивости А.Н. Колмогорова.

Тезис A: пусть √2 обладает свойством иррациональности ~ρ:

√2 ∈ ~ρ

Тезис B: тогда произведение √2 • √2 обладает тем же свойством ~ρ:

√2 • √2 ∈ ~ρ

Тезис ~ B: в то же время нам известно, что произведение √2 • √2 1,(9) = 2обладает свойством ρ рационального числа:

√2 • √2 ∈ ρ

Но равенство 1,(9) = 2 возможно только в том случае, если √2 тоже обладает свойством рациональности ρ. Следовательно, истинным утверждением будет

Тезис ~ A: число √2 обладает свойством ρ рационального числа:

√2 ∈ ρ

Если из А следует В и не-В, то в действительности имеет место не-А:

(А → В) → {( А → ~ В) → ~ А}.

Даже если принять лицемерные выверты математиков за чистую монету и согласиться с тем, что десятичные дроби с периодом (9) по какой-то непостижимой, сверхъестественной причине относятся к особому «неопределенному» классу чисел ~ ρ, из равенства 1,(9) 2 будет вытекать все тот же логико-арифметический парадокс, когда произведение √2 • √2будет с одной стороны равно числу 1,(9), обладающему свойством «неопределенного» класса ~ ρ, а с другой стороны — будет равно числу 2, обладающему вполне определенным свойством класса рациональных чисел ρ.

Поскольку число 2 в таком построении наделяется противоречащими друг другу признаками, то в полном соответствии с высказыванием Гильберта мы можем констатировать тот факт, что в «общепризнанной» арифметике не существует понятия «число 2«. Не трудно догадаться, что то же самое можно повторить (минуточку внимания) для всех натуральных чисел! Следовательно, в целом такая арифметика оказывается внутренне противоречивой фикцией — псевдоматематикой. И вот такую, с позволения сказать, «науку» беззастенчиво преподают во всем мире профессиональные шарлатаны — современные «доктора Шнабели» с высокими научными званиями и степенями.

Как видим, применение принципа противоречивости Колмогорова привело нас к необычному с точки зрения «общепринятой» математики утверждению, что число √2 должно оказаться периодической десятичной дробью √2 = 1,414_(707_). Такое равенство, действительно, можно построить арифметически и геометрически (Клещев Д. Ключ Давида // Философская мысль. — 2012. — № 3. — С.44-118). Для этого нужно всего лишь дополнить аксиому эквивалентности, позволяющую получать в арифметике равенство 1,999…∞ = 2, симметричными пределами для получения на числовой оси равенств вида:

1,999…∞ = 2 = 2,000… ∞1.

Но вот в чем проблема — вы не найдете ни одного учебника, где бы хоть вскользь упоминались симметричные десятичные пределы вида 2,000… ∞1. Математики их в очередной раз «исключили» из рассмотрения! При этом у них поворачивается язык говорить о построении на числовой оси «математического континуума» (1-я проблема Гильберта).

В интуиционистской математике вместо «общепринятых» точек с пустыми окрестностями и таинственных Дедекиндовых точек сечения, которые могут «по произволу» относиться к какому угодно классу, используются бесконечно убывающие интервалы. Об этом академическому сообществу известно со времен Брауэра и Вейля! Однако за сотню лет никто не захотел прислушаться к инакомыслящим «бунтарям».

Разумеется, лукавство математиков не исчерпывается путаницей с десятичными дробями, замалчиванием идей Брауэра и негативного решения 2-й проблемы Гильберта, вытекающего из теоремы Геделя и принципа противоречивости Колмогорова. При желании в «стандартной» математике можно найти другие многочисленные сомнительные определения и доказательства, полученные с помощью двойных стандартов. Чтобы выявить все эпизоды «преступления», потребуются тома «уголовного» дела.

Тем не менее, есть один ключевой эпизод, без которого нельзя понять, каким образом математика докатилась до того плачевного состояния, в котором она пребывает. Для этого придется заглянуть в историю возникновения математической науки, с которой математики не дружат, предпочитая заниматься крупномасштабными историческими фальсификациями.

Речь идет о доказательстве несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, которое было получено древнегреческим математиком Гиппасом в V веке до н.э. В историческом очерке Николя Бурбаки — фиктивный, никогда не существовавший псевдоматематик, олицетворяющий собой нынешнее математическое сообщество — теорема Гиппаса названа «наилучшим классическим примером рассуждения от противного в математике» (Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965. С.300). Что ж, проверим это утверждение на практике, воспользовавшись реконструкцией теоремы Гиппаса из монографии Б.Л. ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука».

Теорема Гиппаса о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата:

«Если диагональ АС и сторона АВ квадрата АВСD взаимно соизмеримы, то пусть m / n есть их отношение, выраженное в наименьших числах m и n. Из пропорции

AC / AB = m / n

следует AC^2 / AB^2 = m^2 / n^2; но AC^2 = 2AB^2,

таким образом, m^2 = 2n^2; следовательно, m^2 является четным. Вследствие этого будет четным также и m; действительно, если бы m было нечетным, то, согласно предложению 29, [квадрат нечетного равен нечетному числу] было бы нечетным и m^2.

Таким образом, m — четное, пусть половина m есть h. Теперь m и nявляются взаимно простыми, но m — четное, следовательно, n будет нечетным. Из равенства m = 2h следует m^2 = 4h^2; таким образом, n^2 = 2h^2 [так как n^2 = m^2/ 2]Итак, n^2 — четно; тогда, согласно тому же рассуждению, что и выше, будет четным также и n. Значит, одно и то же число n должно быть одновременно и четным, и нечетным. А это невозможно» (ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1958. С.154).

Теорема Гиппаса для «наименьших» «четных» и «нечетных» чисел m и n

Возникает вопрос: на основании чего Гиппас утверждает, что для числа имеется «наименьший» предел, выраженный в целых числах m и n, хотя в наши дни считается, что любое целое число представимо в виде бесконечной десятичной дроби с периодом (9), например, 1 = 0,(9); = 1,(9); = 2,(9) и т.д.? Это принципиальный момент всего «доказательства», ведь дробь с периодом (9) по определению не является ни четным, ни нечетным числом!

Оказывается, «наименьший» предел и фиктивное число h появилось у Гиппаса потому, что в античной арифметике действовала аксиома неделимости единицы (ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1958. С.68-69 ). Но теперь мы исходим из другого набора аксиом арифметики, полагая, что предел наименьшего числа стремится к бесконечности. Для нас нет ничего невозможного в том, что десятичная дробь может быть равна целому числу (либо четному, либо нечетному), не являясь при этом ни четным, ни нечетным числом. Это тот самый интуиционистский случай, когда «третье дано», а значит, все «доказательство» Гиппаса вызывает серьезные сомнения. Достаточно поставить вместо h число √2 / 2, чтобы получить выражение 1^2 = 2 (√2 / 2)^2 и понять, что на самом деле «доказательство» Гиппаса ничего не доказывает.

В самом деле, если мы имеем дело с десятичными дробями, из равенства некоторого квадрата четному числу m^2 = 4n^2 еще не следует, что m — тоже обязательно четное число:

1,(9)^2 = 4 • 1^2.

Здесь число 1,(9) — бесконечная периодическая десятичная дробь, а не целое четное число m . Пифагорейская теория четных и нечетных чисел не действует в арифметике десятичных дробей. Для определения соизмеримости или несоизмеримости, мы не занимаемся бесконечным делением 19/10, 199/100, 1999/1000 и т.д., а применяем для m правила перевода десятичных дробей в обыкновенные. Но во времена Гиппаса в Древней Греции не имели понятия о десятичных дробях. Так что, если мы признаем доказательство Гиппаса «наилучшим классическим примером рассуждения от противного в математике», мы вынуждены наделять единицу двумя противоположными свойствами: число — не делится на части (как подразумевал Гиппас), в то же время число  делимо до бесконечности (как подразумевает арифметика десятичных дробей).

Таким образом, в «общепризнанной» математике мы вновь получаем объект, для которого выполняется принцип противоречивости. Следовательно, в такой арифметике не существует понятие «число 1«. Люди добрые, ведь это не заоблачные выси символической логики и трансфинитных чисел. Это материал школьной программы. До каких пор жрецы науки будут валять дурака, сколько потребуется столетий, чтобы освободить математику от паталогической лжи «левополушарных больных»?

Судя по тому, что даже академику В.И. Арнольду не удалось осушить псевдоматематическое болото, жрецы науки еще долго будут уходить от ответа, посмеиваясь над человечеством, стремительно тупеющим от вездесущей лжи и двойных стандартов.

Похожие статьи

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *