Фокусы мышления
Три математика позиционирующих себя физиками: Стивен Парк из Национальной ускорительной лаборатории имени Ферми, Синин Чжан из Чикагского университета и Питер Дентонхотели из Брукхейвенской национальной лаборатории захотели как бы обсчитать процесс изменения не существующего в природе нейтрино. При своих математических упражнениях они обнаружили взаимоотношение между одними из самых распространённых объектов математики. Они написали математику Теренсу Тао. Троица объяснила ему, что наткнулась на простую формулу, которая в случае, если она окажется верной, опишет неожиданное взаимоотношение между одними из наиболее базовых и важных объектов линейной алгебры. Формула «выглядела слишком хорошо, чтобы быть правдой», сказал Тао, профессор из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, лауреат Филдсовской премии, один из ведущих математиков мира. «Нечто настолько короткое и простое уже давно должно было оказаться в учебниках, — сказал он. – Поэтому сначала я подумал – нет, этого не может быть». А потом он подумал ещё немного.
Парк, Чжан и Дентон вычислили, что “собственные векторы“, сложные для подсчёта величины, якобы описывавшие в их случае то, как нейтрино распространяются в материи, приравниваются к комбинации членов, известных, как «собственные числа», вычислять которые гораздо проще. Более того, они поняли что эта взаимосвязь между собственными векторами и собственными числами – очень часто встречающимися в математике, физике и инженерных расчётах объектами, которые изучают ещё с XVIII века – судя по всему, более общего порядка.
Парк, Чжан и Дентон не смогли найти такого взаимоотношения ни в книгах, ни в статьях. Поэтому они решили рискнуть и связаться с Тао, несмотря на то, что на его сайте была размещена просьба не беспокоить его по подобным случаям.
«К нашему удивлению он ответил через два часа, и сказал, что никогда не видел раньше ничего подобного», — сказал Парк. А кроме этого, в ответе Тао были три независимых доказательства этого тождества.
Синин Чжан, Питер Дентон и Стивен Парк с открытой ими формулой
Полторы недели спустя Парк, Чжан, Дентон и Тао опубликовали в интернете работу, сообщающую о новой формуле. Сейчас эту работу оценивают специалисты журнала Communications in Mathematical Physics. В отдельной работе, опубликованной в журнале Journal of High Energy Physics, Дентон, Парк и Чжан используют эту формулу для упрощения уравнений, как бы описывающих поведение нейтрино.
Математики думают так же. «Это и удивительно, и интересно, — сказал Ван Вю, математик из Йельского университета. – Не подозревал, что можно вычислять собственные вектора, используя только лишь информацию о собственных числах».
Вю и Тао доказали близкое по смыслу тождество в 2009 году (поэтому-то Дентон, Парк и Чжан и решили связаться с Тао), однако новая формула не следует очевидным образом из старой. И хотя похожая формула по случайности появилась в математической работе в мае этого года, её авторы не связали её с собственными векторами и собственными числами.
Фокусы преобразований
Собственные вектора и собственные числа так часто встречаются, поскольку характеризуют линейные преобразования: операции, растягивающие, сжимающие, вращающие или ещё каким-либо образом меняющие все части одного объекта одинаково. Эти преобразования представлены прямоугольными массивами чисел, именуемыми матрицами. Одна матрица поворачивает объект на 90 градусов; другая переворачивает его вверх ногами и уменьшает в два раза.
Применение данной матрицы к данному объекту зеркально отразит его относительно плоскости, а также удвоит его высоту. Собственные вектора матрицы описывают направления, по которым объект не меняется, за исключением масштабирования. Собственные числа матрицы описывают, насколько объект масштабируется вдоль этих собственных векторов. Собственный вектор А параллелен вертикальной оси. Его собственное число равно 2, поскольку объект увеличивает высоту в два раза. Собственный вектор В находится в плоскости отражения. Его собственное число равно 1, поскольку вдоль него объект не меняется. Собственный вектор С перпендикулярен плоскости отражения. Его собственное число равно -1, что означает отражение относительно плоскости.
Удаляя строки и столбцы матрицы, можно создавать матрицы меньших размеров. Их собственные числа вместе с собственными числами оригинальных матриц можно использовать для расчёта собственных векторов оригинальных матриц.
Делают это матрицы, изменяя «вектора» объектов – математические стрелки, указывающие на каждое физическое место объекта. Собственные вектора матрицы – это такие вектора, которые продолжают указывать в том же направлении, что и раньше, после применения матрицы. Допустим, мы возьмём матрицу, поворачивающую объект на 90 градусов вокруг оси х: собственные вектора направлены вдоль оси х, поскольку расположенные по этой оси точки не поворачиваются, когда все остальные вращаются вокруг них.
Похожая матрица может вращать объекты вокруг оси х и сжимать их в два раза. Как сильно матрица сжимает или растягивает собственные вектора объекта, описывают соответствующие собственные числа – в данном случае, 1/2 (если собственный вектор не меняется, его собственное число равняется 1).
Собственные вектора и собственные числа независимы, и обычно их приходится подсчитывать отдельно, начиная со строк и столбцов самой матрицы. Студенты учатся делать это для простых матриц. Но новая формула отличается от существующих методов. «Что интересно по поводу этого тождества, так это что вам не нужно знать никаких значений, содержащихся в матрице, чтобы что-то вычислить», — сказал Тао.
Тождество применяется к эрмитовым матрицам, осуществляющим вещественные преобразования собственных векторов (по контрасту с мнимыми числами), и, следовательно, применимым к ситуациям, происходящим в реальности. Формула выражает каждый собственный вектор эрмитовой матрицы через собственные числа этой матрицы и её «минорной матрицы» – такой матрицы меньшего размера, которая получается удалением строки и столбца из оригинальной.
Оглядываясь назад, формула кажется разумной, сказал Тао, поскольку собственные числа минорной матрицы кодируют в себе скрытую информацию. Однако «к примеру, лично я о таком бы никогда не подумал».
Он сказал, что в математике редко появляется инструмент, не связанный с задачей. Однако он считает, что взаимосвязь собственных векторов и собственных чисел обязана иметь значение. «Это настолько красиво, что я уверен, что формула найдёт какое-то применение в ближайшем будущем, — сказал он. – Пока что у нас для неё есть только одно применение».
Минорное отличие
Похожая формула уже была известна, однако её никто не заметил, поскольку она была замаскирована.
В сентябре Тао получил ещё один неожиданный емейл, в этот раз от Цзиюаня Чжана, аспиранта по математике из Мельбурнского университета в Австралии. Чжан указал на наличие эквивалентной формулы в работе, написанной им вместе с его куратором Питером Форестером в мае, до появления работ Тао и трёх физиков. Чжан и Форрестер работали в области чистой математики, теории случайных матриц. Они применили эту формулу, исследуя задачу, связанную с решённой Тао и его коллегами в 1999 году.
Форестер объяснил нам, что впервые эта формула появилась ещё в одном виде в работе 2001 года за авторством Юлия Барышникова, математика, сейчас работающего в Иллинойсском университете в Урбане-Шампейне, на работе которого основывались Форестер и Чжан. Но эти математики описывали объекты своего тождества не как собственные вектора, а как члены, необходимые для вычисления собственных чисел определённых минорных матриц, появляющихся в ходе решения их задачи.
Форестер назвал формулу в их с Чжаном работе «идентичной» той, что использовали Тао и три физика. Тао назвал формулы «почти идентичными», относящимися друг к другу так же, как две стороны иллюзии «кролик/утка». «Некоторые люди искали кроликов, другие искали только уток», — сказал он.
Дентон в емейле написал, что существовавшая до этого формула «близка к нашему результату, но не подходит к нему идеально». Он добавил, что «в свете важности собственных векторов для многих задач, мы всё же думаем, что наш результат достаточно отличается от остальных, чтобы считать его новым».
Возможно, не так уж странно, что в данной области за одно-единственное лето после нескольких столетий может подняться такое внезапное волнение. «В математике есть много примеров одновременных открытий, — сказал Тао. – Результаты каким-то образом висят в воздухе. И люди просто начинают искать их в правильных местах».
По материалу публикованному 20.12.2019 автором kornelik